مسئله دایره

دو انتهای یکی از قطرهای دایره‌ای نقاط (۲-, ۲-) و (۴, ۶) هستند، اندازه ی شعاع و مختصات مرکز دایره را بیابید.

خب، بریم سراغ حل این مسئله‌ی دایره‌ای! اول از همه، یه نفس عمیق می‌کشیم و آروم آروم پیش میریم. اصلا نگران نباش اگه ریاضی برات سختِ، ما اینجا هستیم تا با هم قدم به قدم جلو بریم.

اول ببینیم سوال چی می‌خواد. سوال گفته دو تا نقطه روی قطر دایره داریم:

• (-۲, -۲)
• (۴, ۶)

از ما خواسته شعاع دایره و مختصات مرکز دایره رو پیدا کنیم.

قدم اول: درک مسئله

قبل از اینکه شروع به حل کنیم، باید بفهمیم اینا چی هستن اصلا!

• دایره: یه شکل هندسی که همه نقاطش با یه فاصله ثابت از یه نقطه وسط (که بهش می‌گیم مرکز دایره) دارن.
• قطر: یه خط که از مرکز دایره رد میشه و دو سرش روی خود دایره قرار داره. مثل یه خطی که از یه طرف دایره تا طرف دیگه کشیدی و حتما از وسطش (مرکز) رد شده.
• شعاع: نصف قطر دایره. یعنی اگه قطر رو تقسیم بر ۲ کنی، شعاع به دست میاد.
• مختصات: یه جوریه که می‌تونیم موقعیت هر نقطه رو روی یه صفحه مشخص کنیم. مثل اینه که به یه نفر بگی "برو خونه‌ای که آدرسش خیابان انقلاب، پلاک ۱۲۳ هست". اینجا خیابان انقلاب و پلاک ۱۲۳ میشه مختصات خونه. توی ریاضی هم مختصات یه نقطه معمولا با دو تا عدد نشون داده میشه: (x, y). x نشون میده نقطه چقدر به چپ یا راست رفته و y نشون میده چقدر بالا یا پایین رفته.

قدم دوم: پیدا کردن طول قطر

حالا که فهمیدیم مسئله چی می‌خواد، بریم سراغ حلش. اولین کاری که باید بکنیم اینه که طول قطر رو پیدا کنیم. برای این کار از یه فرمول استفاده می‌کنیم که بهش می‌گن "فاصله بین دو نقطه". این فرمول میگه اگه دو تا نقطه داشته باشیم با مختصات (x۱, y۱) و (x۲, y۲)، فاصله بینشون میشه:

این فرمول شاید یکم ترسناک به نظر برسه، ولی خیلی ساده‌ست. فقط کافیه اختلاف xها رو به توان ۲ برسونی، اختلاف yها رو هم به توان ۲ برسونی، بعد این دو تا رو با هم جمع کنی و در آخر جذرش رو بگیری.

حالا بیایم این فرمول رو برای نقاط (-۲, -۲) و (۴, ۶) استفاده کنیم:

• x۱ = -۲
• y۱ = -۲
• x۲ = ۴
• y۲ = ۶

پس طول قطر دایره میشه ۱۰.

قدم سوم: پیدا کردن مختصات مرکز دایره

حالا که طول قطر رو داریم، می‌تونیم مختصات مرکز دایره رو پیدا کنیم. مرکز دایره دقیقا وسط قطر قرار داره. برای پیدا کردن وسط یه پاره‌خط (مثل قطر)، کافیه مختصات دو سرش رو با هم جمع کنیم و بعد تقسیم بر ۲ کنیم.

مختصات مرکز دایره میشه:

= (۱, ۲)

پس مختصات مرکز دایره میشه (۱, ۲).

قدم چهارم: پیدا کردن شعاع دایره

حالا که مختصات مرکز دایره رو داریم، می‌تونیم شعاعش رو پیدا کنیم. یادتون باشه که شعاع نصف قطر هست. پس:

شعاع = قطر / ۲

= ۱۰ / ۲

= ۵

پس شعاع دایره میشه ۵.

خلاصه جواب:

• مختصات مرکز دایره: (۱, ۲)
• شعاع دایره: ۵

بازبینی راه‌حل:

خب، حالا که جواب رو پیدا کردیم، یه نگاهی به راه‌حل بندازیم و ببینیم همه چیز درست پیش رفته یا نه.

• اول از همه، مطمئن شدیم که مسئله رو درست فهمیدیم.
• بعد، طول قطر رو با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه درست محاسبه کردیم.
• سپس، مختصات مرکز دایره رو با پیدا کردن وسط قطر درست به دست آوردیم.
• و در نهایت، شعاع دایره رو با تقسیم قطر بر ۲ درست محاسبه کردیم.

به نظر می‌رسه همه چیز درست پیش رفته و جواب ما درسته.

راه حل تستی و کوتاه:

1. محاسبه طول قطر: $\sqrt{((۴\; -\; (-۲))²\; +\; (۶\; -\; (-۲))²)\; =\; ۱۰}$
2. محاسبه مختصات مرکز دایره: ((−۲ + ۴) / ۲, (−۲ + ۶) / ۲) = (۱, ۲)
3. محاسبه شعاع دایره: ۱۰ / ۲ = ۵

توضیح اصطلاحات به زبان ساده:

• دایره: یه شکل گرد که همه نقاطش از یه نقطه وسط به یه اندازه فاصله دارن. مثل یه چرخ ماشین.
• قطر: یه خط که از وسط دایره رد میشه و دو سرش روی دایره قرار داره. مثل یه خطی که از یه طرف چرخ تا طرف دیگه کشیدی و از وسطش رد شده.
• شعاع: نصف قطر دایره. یعنی اگه قطر رو تقسیم بر ۲ کنی، شعاع به دست میاد.
• مختصات: یه جوریه که می‌تونیم موقعیت هر نقطه رو روی یه صفحه مشخص کنیم. مثل اینه که به یه نفر بگی "برو خونه‌ای که آدرسش خیابان انقلاب، پلاک ۱۲۳ هست".
• فاصله بین دو نقطه: طول خطی که دو تا نقطه رو به هم وصل می‌کنه.
• جذر: یه عدد که اگه به توان ۲ برسه، میشه همون عددی که زیر رادیکال قرار داره. مثلا جذر ۹ میشه ۳، چون ۳ به توان ۲ میشه ۹.
• توان: نشون میده یه عدد چند بار در خودش ضرب شده. مثلا ۲ به توان ۳ میشه ۸، چون ۲ ضربدر ۲ ضربدر ۲ میشه ۸.

مرور نهایی و اصلاحات:

بعد از بررسی دقیق، به نظر می‌رسه که راه‌حل کاملا درست و کامل است. تمام مراحل به طور واضح توضیح داده شده‌اند و از مثال‌های ملموس برای درک بهتر مفاهیم استفاده شده است.

سوالات مشابه:

• دو انتهای یکی از قطرهای دایره‌ای نقاط (۰, ۰) و (۶, ۸) هستند، اندازه ی شعاع و مختصات مرکز دایره را بیابید.
• مرکز دایره‌ای (۳, -۱) است و یکی از نقاط روی دایره (۶, ۲) است، اندازه ی شعاع دایره را بیابید.
• دو نقطه (۱, ۳) و (۵, ۷) روی یک دایره قرار دارند و خط واصل بین آنها قطر دایره است. مختصات مرکز و شعاع دایره را تعیین کنید.